La teoria di portafoglio di Markowitz
Il primo contributo alla definizione e successivo sviluppo degli asset allocation models, lo si deve a Henry Markowitz (Portfolio Selection. “Journal of Finace” 7, 1952 N°1 pp:77-91); si dice, pur senza conferme ufficiali, che Markowitz doveva chiudere velocemente la sua tesi di laurea e formulò detta teoria in una notte.
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È probabile che questa sia una storia inventata vista la complessità del tema trattato, per questo noi abbiamo cercato di rendere la trattazione il meno ostica possibile riducendo al minimo le tediose formule matematiche.
Tutta la teoria di Markowitz si basa sulla distribuzione normale dei rendimenti e sul concetto di rendimento atteso. Markowitz sosteneva che per costruire un portafoglio occorre individuare titoli la cui combinazione minimizzi il rischio e massimizzi il rendimento; per fare ciò fu il primo a introdurre il concetto di correlazione fra i titoli. Da questi concetti base poi scaturì il termine “decorrelazione” oggi comunemente utilizzato negli investimenti finanziari.
Oltre al rischio del singolo titolo, è importante considerare il rischio di un portafoglio composto da due o più titoli, il quale dipende come abbiamo visto dalla correlazione esistente tra essi. Se non esistesse alcuna correlazione tra i diversi titoli, il rischio di portafoglio sarebbe analogo a quello dei singoli titoli.
Se il coefficiente di correlazione è positivo o negativo, allora alla crescita del rendimento di un titolo corrisponde l’aumento o decremento del rendimento del secondo titolo. Si deduce che nel caso di andamenti contrapposti dei rendimenti dei titoli – ovvero il concetto di diversificazione – il rischio globale di un portafoglio si riduce.
Il rendimento atteso invece, è quanto l’investitore si aspetta di ottenere da uno o più titoli nel futuro. Ovviamente, poiché si tratta di un valore atteso, il rendimento realizzato potrebbe differire dal reale in quanto necessariamente viene misurato riferendosi a quanto il titolo ha fatto registrare nel passato. L’aspettativa di un investitore potrebbe semplicemente essere pari al rendimento medio che il titolo ha registrato in passato.
Il rendimento di un portafoglio dunque, si ottiene prendendo in considerazione il contributo che ciascun titolo in esso incluso apporta. In altri termini, il rendimento atteso di un portafoglio è la media ponderata dei rendimenti attesi dei singoli componenti, i cui pesi sono le quote dei vari titoli sul totale del portafoglio.
Supponiamo ora che siano stati osservati i dati storici di rendimento su alcuni titoli del mercato italiano, e che l’attenzione sia caduta su due in particolare: Luxottica e Autogrill e che i rendimenti annui siano rispettivamente pari al 10,27% e al 13,55%. La volatilità media annua dei due titoli è invece pari al 26,68% e al 35,07%, rispettivamente.
Ora ipotizziamo di voler costruire un portafoglio composto dai due titoli Luxottica e Autogrill. In quali proporzioni dovremmo combinarli?
Non esiste risposta univoca a questa domanda, poiché tutto dipende dalla nostra personale inclinazione al rischio: se siamo avversi al rischio tenderemo naturalmente a sovrappesare il titolo Luxottica, che nel nostro esempio rende meno ma espone anche ad un rischio atteso inferiore. Se invece siamo intenzionati ad esporci ad un rischio maggiore a fronte dell’aspettativa di ricevere un premio maggiore, allora potremo sovrappesare il titolo Autogrill.
Se il titolo Autogrill mostrasse un rendimento atteso inferiore a quello di Luxottica, ed esponesse allo stesso tempo ad un rischio maggiore, come in effetti fa, allora non vi sarebbero dubbi in merito a come comportarsi: si acquisterebbe il solo titolo Luxottica, per l’intero capitale disponibile. In un simile caso si direbbe che Luxottica domina Autogrill: offre un rendimento atteso superiore con un rischio atteso minore. Nessun investitore razionale acquisterebbe mai il titolo Autogrill sapendo che rende verosimilmente poco esponendo ad un rischio potenzialmente elevato.
La situazione reale però è diversa: i due titoli hanno rischi e rendimenti attesi sostanzialmente simili, dunque può essere interessante combinarli entrambi all’interno del portafoglio, in proporzioni coerenti con la propria personale inclinazione al rischio.
Supponiamo allora di avere un atteggiamento conservativo, e di voler quindi investire il 70% della nostra liquidità sul titolo Luxottica e il restante 30% sul titolo Autogrill. Il rendimento atteso del portafoglio così creato è la media ponderata dei singoli rendimenti attesi, con pesi pari alle quote investite:
Se le proporzioni fossero invertite, allora il rendimento atteso sarebbe pari al 12,57%.
Entriamo ora nel vivo della costruzione del portafoglio ponendoci una domanda: il calcolo della media ponderata si applica anche al rischio atteso del portafoglio, oltre che al rendimento atteso?
Se così fosse, allora il rischio del portafoglio costituito dal 70% in Luxottica e il 30% in Autogrill sarebbe il seguente:
Parimenti, il rischio atteso nella situazione inversa (quote opposte) sarebbe pari al 32,6%.
È tuttavia dimostrabile che il rischio di un portafoglio non sia pari alla media ponderata dei rischi dei singoli componenti, a meno che i componenti stessi non siano perfettamente correlati tra loro, ossia che si muovano nella stessa direzione e con la stessa intensità tutto il tempo.
In effetti il problema qui è più complesso, e deriva dalla coesistenza del rischio specifico e del rischio sistemico, di cui abbiamo parlato in precedenza.
Il nocciolo della questione è che l’andamento generale del portafoglio in termini di rischio dipende non solo dalle componenti di rischio specifico delle aziende acquistate, ma anche dalle componenti di rischio sistemico, ossia dal rischio che i prezzi oscillino non per ragioni legate al comportamento delle singole aziende, bensì all’andamento generale del mercato. Per tenere in considerazione tutte le componenti di rischio sarebbe quindi necessario costruire una matrice di varianze e covarianze, esercizio al quanto complesso.
La prima cosa direttamente verificabile è se effettivamente qualsiasi combinazione dei due titoli Luxottica e Autogrill possa considerarsi equivalente in termini di rendimento ponderato sul rischio. Per poter indagare questo problema è però necessario dotarsi di strumenti informatici in grado di calcolare il rendimento e il rischio attesi di tutti i possibili portafogli ottenibili combinando i due titoli in proporzioni variabili, da 0 al 100%, estremi inclusi. In effetti un investitore estremamente cauto potrebbe decidere di acquistare il solo titolo Luxottica, mentre un investitore amante del rischio potrebbe allocare l’intero capitale disponibile al titolo Autogrill.
La figura sottostante mostra la curva di tutti i portafogli possibili di Luxottica e Autogrill combinati in tutti i modi possibili a step del 2% creata utilizzando Excel. Finché la dimensione del portafoglio è ridotta, possiamo utilizzare anche un semplice foglio di calcolo, oltre, bisogna adottare software specifici.
Osservando la figura la prima domanda da porsi è se tutti i portafogli possano effettivamente considerarsi sostituibili a fronte di specifiche aspettative reddituali o tolleranze al rischio. La risposta è negativa, ovviamente, dal momento che alcuni dei portafogli in figura non dovrebbero nemmeno essere presi in considerazione, essendo dominati da altri, che a parità di rischio atteso offrono un rendimento atteso superiore.
Se ci si concentra sulla parte inferiore sinistra della figura, infatti, tutti i portafogli che si trovano nel tratto della curva orientato verso il basso e a destra (al di sotto della linea di tangenza), sono caratterizzati da un rischio compreso tra il 26 e il 27%, e un rendimento minore dell’11% circa. Ma a partire dal punto più a sinistra della curva (punto di tangenza) e a salire fino ai portafogli connotati da un rischio fino a quasi il 27% si ottiene sempre un rendimento superiore a quello di un portafoglio avente il medesimo rischio ma situato nella parte bassa della curva. Il portafoglio costituito dal solo titolo Luxottica, ad esempio, è da scartare se confrontato con un altro portafoglio che si trova verticalmente al di sopra di esso avente un maggior rendimento atteso a parità di rischio.
Una nota è però doverosa a questo proposito: alla base di questo modello si presuppone che qualsiasi investitore sia in grado di tracciare la curva proposta, scoprendo quindi che alcuni portafogli sono preferibili ad altri; questo implicherebbe una metodologia di azione totalmente razionale. Si tratta di una assunzione forte, dal momento che ben pochi investitori possono dotarsi di strumenti di analisi di questo tipo e prendere quindi decisioni razionali in qualsiasi frangente. È un problema di mezzi e di competenze allo stesso tempo.
Ovviamente il modello può essere complicato a piacimento, incrementando il numero di titoli da mettere in portafoglio. Già considerando tre soli titoli il problema si complica in maniera più che proporzionale, poiché per costruire tutti i portafogli possibili partendo da due titoli è necessario determinare il rischio e il rendimento attesi di 51 portafogli diversi, mentre se i titoli sono tre il numero sale a 1326!
La figura seguente riporta lo spazio di tutti i portafogli possibili combinando tre titoli, Luxottica, Autogrill e Buzzi Unicem, in proporzioni variabili a passo 2%.
Di nuovo, un investitore razionale, capace di creare un grafico come quello sopra, e di essere quindi in grado di confrontare tutti i portafogli possibili in termini di rendimento atteso ponderato sul rischio atteso, scoprirebbe che non tutti i portafogli sono equivalenti; al contrario, la maggior parte di essi non dovrebbe neppure essere presa in considerazione.
Analizzando con quanto sin qui appreso in figura 3.2, appare logico andare a cercare un portafoglio che si trova il più possibile in alto a sinistra, dove il rischio è ridotto e il rendimento è elevato.
Notiamo come il titolo Buzzi Unicem da solo non rappresenti una buona scelta di investimento, dal momento che alla sua sinistra – muovendosi in orizzontale sulla stessa linea – vi sono moltissimi portafogli che offrono lo stesso rendimento ma con un rischio inferiore.
A questo punto abbiamo capito che i portafogli più performanti sono quelli che giacciono sulla linea superiore esterna della figura. Ogni punto su quella linea rappresenta una combinazione ottimale di rischio e rendimento combinati insieme: in funzione dei dati disponibili non è possibile trovare un portafoglio che possa offrire un maggior rendimento dato un certo livello di rischio, o un rischio inferiore dato un certo livello di rendimento atteso.
Questi portafogli vengono definiti efficienti, e la linea su cui giacciono è la cosiddetta frontiera efficiente discussa in una pagina wiki dedicata.
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Buon CIRCOLO DEGLI INVESTITORI!
